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    <title>常数项级数</title>
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</head>
<body>

<h2>无穷级数的基本概念</h2>

<p class="definition">
	<b>无穷级数</b>, 简称<b>级数</b>,
	是用加号把数列 `{u_n}` 中的所有数依次连接起来所得到的数学表达式:
	<span class="formula">
		`sum_(n=1)^oo u_n = u_1 + u_2 + cdots + u_n + cdots`.
	</span>
	每个加数称为级数的一<b>项</b>, 一般项 `u_n` 称为级数的<b>通项</b>.
	对每个正整数 `n`, 由级数的前 `n` 项和
	<span class="formula">
		`S_n = sum_(k=1)^n u_k`
	</span>
	组成一个数列 `{S_n}_(n=1)^oo`, 称为级数的<b>部分和 (数列)</b>.
	当部分和数列收敛时, 则称这个级数<b>收敛</b>,
	并称部分和数列的极限为级数的<b>和</b>. 故对收敛级数, 我们有
	<span class="formula">
		`sum_(k=1)^oo u_n = lim_(n to oo) sum_(k=1)^n u_k`.
	</span>
	另一方面, 当部分和数列发散时, 就称级数<b>发散</b>.
	如果级数的部分和数列趋于正 (负) 无穷大, 我们也称这个级数发散到正 (负)
	无穷大, 记为
	<span class="formula">
		`sum_(n=1)^oo u_n = +oo (-oo)`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
  下文把 `sum_(n=1)^oo` 简记为 `sum_(n ge 1)`, 有时也完全省略上下标.
</p>

<p class="remark">
	小数就是级数的一个例子. 比如
	<span class="formula">
		`3.1415926... = 3 + 1/10 + 4/10^2 + 1/10^3 + 5/10^4 + cdots`.
	</span>
	实际运用中, 许多问题无法求出或不需要求出精确解, 我们就常用级数估计它,
	这和用小数近似估计一个实数是相同的思想.
</p>

<p class="remark">
  通过考虑部分和, 可以将级数问题转化为数列问题;
  反之, 已知一个数列 `{a_n}`,
  通过作差分 `b_n = a_n - a_(n-1)`, 可以将数列化为级数:
  <span class="formula">
    `a_n = a_0 + sum_(k=1)^n b_k`,
    `quad lim_(n to oo) a_n = sum_(n ge 1) b_n`. (如果极限存在)
  </span>
</p>

<p class="example">
	几何级数
	<span class="formula">
		`sum_(n ge 0) x^n`
		`{
			= (1-x)^-1, if |x| lt 1;
			= oo, if |x| gt 1;
			"发散", if x = -1;
		:}`.
	</span>
</p>

<ol class="theorem">
	<li>`sum_(n ge 1) c u_n = c sum_(n ge 1) u_n`;</li>
	<li>`sum_(n ge 1) (u_n +- v_n) = sum_(n ge 1) u_n +- sum_(n ge 1) v_n`.
	</li>
	这两个等式表示右端级数收敛时, 左端级数也收敛, 且它们的和相等.
	这个定理表明, 收敛级数可以进行线性运算.
</ol>

<p class="proof">
	考察两个级数的部分和, 有
	<span class="formula">
		`sum_(k=1)^n c u_k = c sum_(k=1)^n u_k`.
	</span>
	在等式两边令 `n to oo`, 就证明了结论 1. 结论 2 的证明类似.
	级数的线性可加性是由数列极限的线性可加性保证的.
</p>

<ol class="corollary">
	应用反证法, 立即得到下面的推论:
	<li>若 `sum u_n` 发散, 则对任意 `c != 0`, `sum c u_n` 发散.</li>
	<li>若 `sum u_n` 发散, `sum v_n` 收敛, 则 `sum (u_n +- v_n)` 发散;</li>
</ol>

<p class="theorem">
	任意改变级数中有限项的数值, 不改变级数的敛散性;
	换言之, 对两个级数 `sum u_n`, `sum v_n`,
	如果存在正整数 `N`, 使对所有 `n gt N` 的项都有 `u_n = v_n`,
	则它们的敛散性相同.
</p>

<p class="proof">
	比较它们的部分和, 有
	<span class="formula">
		`sum_(k=1)^n u_n`
		`= sum_(k=1)^N (u_k - v_k) + sum_(k=1)^n v_n`.
	</span>
	由数列极限的运算法则知道, 这两个级数敛散性相同.
</p>

<p>	由数列收敛的 Cauchy 准则立即推出:</p>

<p class="theorem">
	<b>级数收敛的 Cauchy 准则</b>
	级数 `sum u_n` 收敛的充要条件是 `AA epsi gt 0`, `EE N in NN`,
	<span class="formula">
		`|sum_(m le k le n) u_k| lt epsi`, `quad AA n gt m gt N`.
	</span>
</p>

<ol class="definition">
  考虑级数 `sum u_n`.
  <li>如果 `sum |u_n|` 收敛, 则称原级数 `sum u_n` <b>绝对收敛</b>;</li>
  <li>如果原级数收敛, 但不是绝对收敛, 则称它是<b>条件收敛</b>.</li>
</ol>

<p class="corollary">
	级数绝对收敛蕴含它收敛.
</p>

<p class="proof">
	应用 Cauchy 准则和三角不等式
  `|sum_(m le k le n) u_k| le sum_(m le k le n) |u_k|` 即可.
</p>

<p class="theorem">
	级数收敛的必要条件是其通项趋于零.
</p>

<p class="proof">
	这当然是 Cauchy 收敛准则的推论, 但也可以这样证: 记 `S_n`
	是级数 `sum u_n` 的部分和, 则
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) u_n`
    `= lim_(n to oo) (S_n - S_(n-1))`
		`= lim_(n to oo) S_n - lim_(n to oo) S_(n-1) = 0`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	设级数 `sum u_n`, `sum v_n` 都收敛, 且通项
	`u_n ge v_n`, `n = 1, 2, cdots`.
	显然 `sum (u_n - v_n)` 收敛, 记其和为 `S`.
	如果存在 `k in ZZ^+` 使 `u_k gt v_k`, 那么断言 `S gt 0`.
</p>

<p class="proof">
	<span class="formula">
		`S = sum_(n=1)^k (u_n-v_n) + sum_(n gt k) (u_n-v_n)`,
	</span>
	第一项大于 0, 第二项由极限的保序性非负, 因此 `S gt 0`.
</p>

<p class="remark">
	定积分中也有类似于上例的结论, 这时要求被积函数连续.
</p>

<h2>正项级数</h2>

<p>本节专注于级数的绝对收敛. 注意 `sum |u_n|` 的通项非负, 引出定义:</p>

<p class="definition">
	通项非负的级数称为<b>正项级数</b>.
</p>

<p class="remark">
	由于去掉级数的有限项不改变其敛散性,
	因此对除有限项外各项都是非负的级数, 也可以使用正项级数的敛散性理论.
</p>

<p>	由数列收敛的单调有界原理立即得到:</p>

<p class="lemma">
	正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界. 换言之,
  只要有界 (`sum u_n lt oo`) 即推出有极限 (`sum u_n = a`).
</p>

<h3>敛散性判别</h3>

<ol class="theorem">
	<b>比较判别法一</b>
	设有正项级数 `sum u_n`, `sum v_n`,
	且存在正整数 `N`, 从第 `N` 项起, 恒有 `u_n le v_n`
  <span class="shadow">
    注意到常数因子不改变级数敛散性, 这个条件就是说 `u_n = O(v_n)`
  </span>, 则
	<li>`sum v_n` 收敛 `rArr sum u_n` 收敛;</li>
	<li>`sum u_n` 发散 `rArr sum v_n` 发散.</li>
</ol>

<p class="proof">
	因为去掉级数的有限项不改变级数的敛散性, 所以不妨设 `N = 1`.
	由条件知
	<span class="formula">
		`sum_(k=1)^n u_n le sum_(k=1)^n v_n`, `quad n = 1, 2, cdots`.
	</span>
	如果 `sum v_n` 收敛, 则 `sum u_n` 的部分和有上界, 从而收敛;
  反之如果 `sum u_n` 发散, 则其部分和无上界,
	于是 `sum v_n` 的部分和也无上界, 是发散的.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>比较判别法二</b>
	设有正项级数 `sum u_n`, `sum v_n`, 其中 `v_n` 的各项严格大于零,
  且存在 `0 le l le oo` 使成立
  <span class="formula">
    `lim_(n to oo) u_n/v_n = l`.
  </span>
	<li>`l lt oo` 时, `sum v_n` 收敛 `rArr sum u_n` 收敛;</li>
	<li>`l gt 0` 时, `sum v_n` 发散 `rArr sum u_n` 发散.</li>
</ol>

<!--
<ol class="proof">
	<li>若 `0 lt l lt +oo`, 由条件知存在正整数 `N`, 使
		<span class="formula">
			`l/2 v_n le u_n le 2l v_n`, `quad AA n ge N`.
		</span>
		级数 `sum_(n=1)^oo l/2 v_n` 与 `sum_(n=1)^oo 2l v_n` 都与
		`sum_(n=1)^oo v_n` 具有相同的敛散性. 由比较判别法一知道,
		`sum_(n=1)^oo u_n` 和 `sum_(n=1)^oo v_n` 也有相同的敛散性.
	</li>
	<li>若 `l = 0`, 由条件知存在正整数 `N`, 使 `u_n le v_n`, `AA n ge N`.
		由比较判别法一知, `sum_(n=1)^oo v_n` 收敛时, `sum_(n=1)^n u_n`
		也收敛.
	</li>
	<li>若 `l = +oo`, 由条件知存在正整数 `N`, 使 `u_n ge v_n`, `AA n ge
		N`. 由比较判别法一知, `sum_(n=1)^oo v_n` 发散时, `sum_(n=1)^oo
		u_n` 也发散.
	</li>
</ol>
-->

<p class="proof">
	`l lt oo` 时, 有 `u_n = O(v_n)`,
	`l gt 0` 时, 有 `v_n = O(u_n)`;
	再应用比较判别法一即得结论.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>比较判别法三</b>
	设有正项级数 `sum u_n`, `sum v_n`, 两个级数的各项都严格大于零,
  且存在正整数 `N`, 从第 `N` 项起恒有 `u_(n+1)/u_n le v_(n+1)/v_n`. 则
	<li>`sum v_n` 收敛 `rArr sum u_n` 收敛;</li>
	<li>`sum u_n` 发散 `rArr sum v_n` 发散.</li>
</ol>

<p class="proof">
	由条件知对任意 `n gt N` 的项都成立
	<span class="formula">
		`u_n/u_N = prod_(k=N+1)^n u_k/u_(k-1)`
		`le prod_(k=N+1)^n v_k/v_(k-1) = v_n/v_N`.
	</span>
	即 `u_n le u_N/v_N v_n`, `AA n gt N`.
	应用比较判别法一即得结论.
</p>

<ol class="theorem">
	<b>D'Alembert 检比法</b>
	设 `sum u_n` 是各项严格大于零的正项级数,
	且存在 `0 le l le oo` 使成立
		`lim_(n to oo) u_(n+1)/u_n = l`.
	则
	<li>`l lt 1` 时级数收敛;</li>
	<li>`l gt 1` 时级数发散.</li>
	但是 `l = 1` 时, 级数的敛散性无法用此定理判断.
</ol>

<ol class="proof">
	我们通过与几何级数进行比较, 来证明这个定理.
	<li>先设 `0 le l lt 1`. 取实数 `r` 使得 `l lt r lt 1`, 再令
		`v_n = r^n`, `n = 1, 2, cdots`. 则 `sum v_n` 收敛.
		注意到 `v_(n+1)/v_n = r gt l = lim_(n to oo) u_(n+1)/u_n`,
		所以存在正整数 `N` 使 `u_(n+1)/u_n le v_(n+1)/v_n`, `AA n ge N`.
		应用比较判别法三即知 `sum u_n` 收敛.
	</li>
	<li>再设 `1 lt l le oo`. 取实数 `r` 使得 `1 lt r lt l`,
    类似可证 `sum u_n` 发散.
	</li>
</ol>

<ol class="theorem">
	<b>Cauchy 检根法</b>
	设 `sum_(n=1)^oo u_n` 是正项级数, 且存在 `0 le l le oo` 使上极限
		`underset(n to oo) bar lim root n (u_n) = l`.
	则
	<li>`l lt 1` 时级数收敛;</li>
	<li>`l gt 1` 时级数发散.</li>
	但是再一次, `l = 1` 时, 级数的敛散性无法用此定理判断.
</ol>

<ol class="proof">
	<li>先设 `0 le l lt 1`. 取实数 `r` 使得 `l lt r lt 1`,
		则由条件知存在正整数 `N`, 使当 `n ge N` 时 `root n (u_n) le r`.
		即 `u_n le r^n`. 由 `r lt 1` 知 `sum r^n` 收敛, 从而
		`sum u_n` 也收敛.
	</li>
	<li>再设 `1 lt l le +oo`. 取实数 `r` 使得 `1 lt r lt l`. 由条件知,
		存在 `{u_n}` 的子列 `{u_(n_k)}` 使得对任意正整数
		`k` 成立 `root (n_k) (u_(n_k)) ge r`, 即 `u_(n_k) ge r^(n_k)`.
		因为 `r gt 1`, 所以 `k to oo` 时, `r^(n_k) to +oo`, 于是
		`u_(n_k) to +oo`. 级数 `sum u_n` 的通项不趋于零,
		所以它发散.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
    `l = 1` 时, D'Alembert 和 Cauchy 判别法均失败.
    为了判断更精细的级数的敛散性, 可以考虑下一节的 Gauss 判别法.
</p>

<h3>调和级数</h3>

<p class="example">
	级数 `zeta(s) = sum_(n=1)^oo 1/n^s` 在 `s gt 1` 时收敛, `s le 1` 时发散.
</p>

<ol class="proof">
	`s le 0` 时, 级数通项不趋于零, 因而发散. 下设 `s gt 0`.
	我们通过适当放缩, 将原级数与几何级数作比较.
	<li>若 `0 lt s le 1`, 对任意正整数 `n ge 2`, 存在正整数 `k` 使得
		`2^k le n lt 2^(k+1)`. 现在分析 `s` 级数的部分和, 将它从第二项起,
		依次按 `1, 2, 4, 8, cdots, 2^(k-1)` 项组合起来, 并舍弃从 `2^k + 1`
		项开始的后面各项:
		<span class="formula">
			`sum_(i=1)^n i^-s`
			`ge 1 + sum_(j=1)^k sum_(i=2^(j-1)+1)^(2^j) i^-s`
			`ge 1 + sum_(j=1)^k 2^(j-1) * 2^(-s j)`
			`= 1 + 1/2 sum_(j=1)^k 2^((1-s)j)`
			`= {
				1 + a/2 (1-a^k)/(1-a), if 0 lt s lt 1;
				1 + k/2, if s = 1;
			:}`.
		</span>
		其中 `a = 2^(1-s) gt 1`.
		注意 `n to oo` 时, `k to oo`, 由上述不等式即知原级数发散.
	</li>
	<li>`s gt 1` 时, 类似有
		<span class="formula">
			`sum_(i=1)^n i^-s`
			`le sum_(j=0)^k sum_(i=2^j)^(2^(j+1)-1) i^-s`
			`le sum_(j=0)^k 2^j * 2^(-s j)`
			`= sum_(j=0)^k 2^((1-s)j)`
			`= (1-a^(k+1))/(1-a)`
			`le 1/(1-a)`.
		</span>
		其中 `0 lt a = 2^(1-s) lt 1`.
		从而部分和有界, 所以原级数收敛.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>先设 `s = 1`, 此时由熟知的不等式 (见第二章)
		<span class="formula">
			`1/(n+1) lt ln(1+1/n) lt 1/n`
		</span>
		立即得到
		<span class="formula">
			`sum_(k=1)^n 1/k
			gt sum_(k=1)^n [ln(k+1) - ln k]`
			`= ln(n+1)`,
		</span>
		因而级数发散.
	</li>
	<li>`s != 1` 时, 对函数 `x^(1-s)` (它和 `x^-s`
		的原函数只相差一个常数因子) 在区间 `[n, n+1]`
		上应用微分中值定理得
		<span class="formula">
			`(n+1)^(1-s) - n^(1-s) = (1-s) xi^-s`,
		</span>
		其中 `n lt xi lt n+1`. 从而
		<span class="formula">
			`1/(n+1)^s lt ((n+1)^(1-s) - n^(1-s))/(1-s) lt 1/n^s`.
		</span>
		因此 `s lt 1` 时,
		<span class="formula">
			`sum_(k=1)^n 1/k^s`
			`gt sum_(k=1)^n ((k+1)^(1-s) - k^(1-s))/(1-s)`
			`= ((n+1)^(1-s) - 1)/(1-s)`,
		</span>
		推知级数发散, 而 `s gt 1` 时,
		<span class="formula">
			`sum_(k=1)^n 1/k^s`
			`= 1 + sum_(k=1)^(n-1) 1/(k+1)^s`
			`lt 1 + sum_(k=1)^(n-1) ((k+1)^(1-s) - k^(1-s))/(1-s)`
			`= 1 + (n^(1-s) - 1)/(1-s)`
			`lt 1 - 1/(1-s)`,
		</span>
		表明部分和有界, 所以级数收敛.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	`zeta(s)` 称为 Riemann zeta 函数, 它在数论中具有重要地位.
  当 `s = 1` 时, 这级数称为调和级数, 我们现在知道它是发散的.
  下面的定理估计了调和级数的发散速度.
</p>

<p class="example">
	利用调和级数敛散性的第二种证明的思路,
	可以得到更精细的级数的敛散性. 如 `sum_(n=2)^oo 1/(n ln^s n)`
	在 `s gt 1` 时收敛, `s le 1` 时发散. 一般地, 记 `ln_0 x = x`,
	`ln_m x = ln ln_(m-1) x`, `m = 1, 2, cdots`. 则有
    <span class="formula">
        `(ln_m x)' = prod_(0 le k lt m) ln_k^-1 x`.
    </span>
	又设 `M` 是某个使得 `ln_m n` 有定义的正整数. 则级数
	<span class="formula">
		`sum_(n ge M) ln_m^-s n (ln_m n)'`
		`= sum_(n ge M) 1/(n ln n ln_2 n cdots ln_(m-1) n ln_m^s n)`
	</span>
	在 `s gt 1` 时收敛, `s le 1` 时发散.<br/>
    `ln_m n` 是增长十分缓慢的函数, 不过它仍趋向正无穷大.
    本题表明以它的导函数为通项的级数恰好发散.
</p>

<ol class="proof">
    简明起见只证 `m = 1` 情形. 一般情形是类似的.
	<li>`s le 0` 时, 对充分大的 `n` 有 `1/(n ln^s n) ge 1/n`,
		而调和级数发散; 由比较判别法一, 原级数发散.
	</li>
	<li>设 `s = 1`. 对函数 `ln ln x` 在 `[n, n+1]` 上应用微分中值定理,
		容易得到不等式
		<span class="formula">
			`ln ln(n+1) - ln ln n lt 1/(n ln n)`.
		</span>
		两边从 `2` 到 `n` 求和,
		<span class="formula">
			`ln ln(n+1) - ln ln 2 lt sum_(k=2)^n 1/(k ln k)`.
		</span>
		从而原级数的部分和趋于无穷大, 因此是发散的.
	</li>
	<li>设 `0 lt s lt 1`. 对函数 `ln^(1-s) x` 在 `[n, n+1]`
		上应用微分中值定理, 得到不等式
		<span class="formula">
			`ln^(1-s)(n+1) - ln^(1-s) n lt (1-s)/(n ln^s n)`.
		</span>
		两边从 `1` 到 `n` 求和,
		<span class="formula">
			`ln^(1-s)(n+1) lt sum_(k=1)^n (1-s)/(k ln^s k)`.
		</span>
		故原级数的部分和趋于无穷大, 因此发散.
	</li>
	<li>`s gt 1` 时, 同样对函数 `ln^(1-s) x` 在 `[n, n+1]`
		上应用微分中值定理, 得到不等式
		<span class="formula">
			`(s-1)/((n+1)ln^s(n+1)) lt ln^(1-s) n - ln^(1-s)(n+1)`.
		</span>
		两边从 `2` 到 `n` 求和,
		<span class="formula">
			`sum_(k=3)^n (s-1)/(k ln^s k) lt ln^(1-s)2 - ln^(1-s)(n+1)`
			`lt ln^(1-s)2`.
		</span>
		故原级数的部分和有上界, 因此收敛.
	</li>
</ol>

<p class="proof">
    使用积分判别法, 本题是显然的
    , 以 `s = 1` 为例,
    <span class="formula">
        `sum_(n ge M) ln_m^-1 n (ln_m n)'`
        `= sum_(n ge M) (ln_(m+1) n)'`
        `= sum_(n ge M) int_n^(n+1) (ln_(m+1) n)' dx`
        `ge sum_(n ge M) int_n^(n+1) (ln_(m+1) x)' dx`
        `= int_M^oo (ln_(m+1) x)' dx = oo`.
    </span>
</p>

<p class="lemma">
    等价无穷小 `(ln_m(n+1))/(ln_m n) - 1 ~ (ln_(m+1) n)'`, `n to oo`.
</p>

<p class="proof">
    对 `m` 进行归纳, `m = 0` 时得 `(n+1)/n - 1 ~ 1/n`, 显然成立;
    设结论对 `m-1` 成立, 考虑 `m` 的情形, `n to oo` 时有:
    <span class="formula">
        `(ln_m(n+1))/(ln_m n) - 1`
        `= (ln_m(n+1) - ln_m n)/(ln_m n)`
        `= (ln{:(ln_(m-1)(n+1))/(ln_(m-1) n):})/(ln_m n)`
        `~ ((ln_m n)')/(ln_m n)`
        `= (ln_(m+1) n)'`.
    </span>
</p>

<ol class="lemma">
  [群友 卡尔・夏洛克]
  设 `x` 是使得下式有意义的任意实数, `n ge 0`, 则
  <li>`(ln_n (x+1))/(ln_n x) - 1 le (ln_(n+1) x)'`;</li>
  <li>`ln{:(ln_n (x+1))/(ln_n x):} ge ((ln_(n+1) x)')/(sum_(k=0)^(n+1)
    (ln_k x)')`;
  </li>
  <li>`prod_(k=0)^n (ln_k (x+1))/(ln_k x) ge sum_(k=0)^(n+1) (ln_k x)'`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li>对 `n` 归纳并利用不等式 `ln(1+x) le x`;</li>
  <li>对 `n` 归纳并利用不等式 `ln(1+1/x) ge 1/(x+1)`;</li>
  <li>对 `n` 归纳并利用 2. 的结果.</li>
</ol>

<ol class="theorem">
    <b>Gauss 检比法</b>
    利用函数列 `f_m(n) = (ln_m n)'`,
    将正项级数 `sum u_n` 的相邻两项比渐近展开:
    <span class="formula">
        `u_n//u_(n+1) = sum_(m=0)^N G_m f_m(n) + o(f_N(n))`
        `= G_0 + G_1/n + G_2/(n ln n) + G_3/(n ln n ln ln n) + cdots`
        `+ o(f_N(n))`.
    </span>
    若存在 `M` 使得 `G_0 = G_1 = cdots = G_(M-1) = 1`, 而 `G_M != 1`, 则
    <li>`G_M gt 1` (含 `G_M = +oo`) 时, 原级数收敛;</li>
    <li>`G_M lt 1` (含 `G_M = -oo`) 时, 原级数发散.</li>
</ol>

<p class="proof">
  只证 `G_M gt 1` 的情形. 取 `1 lt s lt G_M`, 则级数
  `sum v_n = sum ln_(M-1)^-s n (ln_(M-1) n)'` 收敛.
  考察它的前后项比, 利用引理将乘积展开:
  <span class="formula">
    `v_n // v_(n+1)`
    `= (n+1)/n (ln(n+1))/(ln n) cdots`
    `(ln_(M-2) (n+1))/(ln_(M-2) n)`
    `((ln_(M-1) (n+1))/(ln_(M-1) n))^s`
    `= (1 + f_M(n) + o(f_M(n)))^s`
    `prod_(m=1)^(M-1) (1+f_m(n) + o(f_m(n)))`
  </span>
  注意 `s lt G_M`, 故 `n` 充分大时, 上式小于等于
  <span class="formula">
    `u_n // u_(n+1)`
    `= 1 + 1/n + 1/(n ln n) + cdots`
    `+ G_M f_M(n) + o(f_M(n))`.
  </span>
  由第三比较判别法知 `sum u_n` 收敛.
</p>

<p class="remark">
    系数 `G_m` 可以通过计算极限 `lim_(n to oo) r_n^((m))` 得到, 其中
    <span class="formula">
        `r_n^((0)) = u_n // u_(n+1)`,
        `quad r_n^((m+1)) = (r_n^((m)) - G_m) ln_m n`.
    </span>
</p>

<p class="example">
  [菲赫金哥尔茨 第二册 375 目 3)]
  [崔尚斌 数学分析教程 中册 习题 10.2 第 12 题]<br/>
  正项级数 `sum a_n` 收敛, 且通项 `a_n` 单调趋于 0, 证明:
  `lim_(n to oo) n a_n = 0`. 换言之, `a_n = o(1/n)`.
  这一例题再次刻画了调和级数“刚好发散”的形象.
</p>

<p class="proof">
  利用不等式 `n a_n // 2 le sum_(n//2 lt k le n) a_k lt epsi` 即可.
</p>

<p class="proof">
  先由 `n a_n le sum_(1 le k le n) a_k lt oo` 知 `n a_n` 有界.<br/>
  再由
  <span class="formula">
    `sum_(1 le k lt n) a_k - sum_(1 lt k le n) k (a_(k-1) - a_k)`
    `= n a_n - a_1 lt oo`
  </span>
  知, 左边第二项有界, 因此正项级数 `sum n(a_(n-1) - a_n)` 收敛,
  进而 `lim_(n to oo) n a_n` 极限存在, 设为 `a`.<br/>
  若 `a gt 0`, 由比较判别法知 `sum a_n` 发散, 矛盾; 因此 `a = 0`.
</p>

<p class="theorem">
    <b>积分判别法</b>
    设 `f` 在 `[M, +oo)` 上非负单调减, 于是
    <span class="formula">
        `f(n) = int_n^(n+1) f(n) dx ge int_n^(n+1) f(x) dx`,
    </span>
    对 `n` 求和得到 `sum_(n ge M) f(n) ge int_M^oo f(x) dx`,
    这是级数的下界; 类似可得到上界.
    于是无穷级数的敛散性归结为无穷积分的敛散性;
    反之, 也可以用级数对积分进行估计.
</p>

<h2>任意项级数</h2>

<p class="theorem">
	<b>级数的两边夹法则</b>
	若级数 `sum w_n` 与 `sum v_n` 均收敛,
	且对任意正整数 `n` 成立 `w_n le u_n le v_n`, 则 `sum u_n`
	收敛. 进一步, 若两端的级数收敛到同一个和, 则 `sum u_n`
	也收敛到这个和.
</p>

<p class="proof">
  由 `w_n le u_n le v_n` 得 `0 le u_n - w_n le v_n - w_n`,
  由已知 `sum (v_n - w_n)` 收敛, 由正项级数的比较判别法知,
  `sum (u_n - w_n)` 也收敛, 从而 `sum u_n` 收敛.
  进一步, 若两端级数收敛到同一个和, 则 `sum (v_n - w_n)` 收敛到零,
  从而 `sum (u_n - w_n)` 也收敛到零, 即 `sum u_n` 收敛到同一个和.
</p>

<p class="remark">
	数列的两边夹法则要求两端的数列具有同一极限, 级数的两边夹法则无此要求.
</p>

<p class="theorem">
	<b>Leibniz 判别法</b>
	如果数列 `{u_n}` 单调趋于零, 那么交错级数 `sum_(n ge 0) (-1)^n u_n`
	收敛.
</p>

<p class="lemma">
	<b>Abel 变换</b>
	设 `a_1, a_2, cdots, a_n` 和 `b_1, b_2, cdots, b_n` 是两组数.
  记 `b_0 = 0`, `Delta b_k = b_k - b_(k-1)`, `k = 1, 2, cdots n`. 则
	<span class="formula">
		`sum_(k=1)^n a_k Delta b_k = a_k b_k - sum_(k=1)^(n-1) Delta
		a_(k+1) b_k`.
	</span>
  Abel 变换是离散版本的“分部积分”.
</p>

<ol class="theorem">
  设数列 `{u_n}` 单调有界, 级数 `sum v_n` 的部分和有界, 考虑级数
  `(**) = sum u_n v_n`:
  <li><b>Dirichlet 判别法</b> 若 `u_n` 趋于零, 则 `(**)` 收敛.</li>
	<li><b>Abel 判别法</b> 若 `sum v_n` 收敛, 则 `(**)` 收敛.</li>
</ol>

<p class="remark">
	Dirichlet 判别法是 Leibniz 判别法的推广, 它把振荡级数
  `sum (-1)^n` 换成了部分和有界的 `sum v_n`.<br/>
  熟知收敛级数乘以常数因子仍收敛; Abel 判别法告诉我们,
  收敛级数乘以单调有界数列也仍收敛.
</p>

<h2>级数中的反例</h2>

<p class="example">
	`0 le u_n le 1/n`, 而 `sum_(n ge 1) (-1)^n u_n` 发散的例子:
	`u_n = (1+(-1)^n)/(2n)`. 在这个例子中, 通项 `u_n to 0`, 但不是单调的,
	不满足 Leibniz 判别法的条件.
</p>

<p class="example">
  [来自<a href="https://zhuanlan.zhihu.com/p/88194615">知乎</a>]
  若级数 `sum a_n` 条件收敛, 且 `a_n // b_n to 1`,
  并不能推出级数 `sum b_n` 收敛.
  比如级数 `1 - 1/sqrt 2 + 1/sqrt 3 - 1/sqrt 4 + cdots` 收敛,
  <span class="formula">
    `1/(sqrt2-1) - 1/(sqrt2+1) + 1/(sqrt3-1) - 1/(sqrt3+1) + cdots`
  </span>
  发散, 而它们通项之比趋于 `sqrt2`, 是同阶无穷小.
</p>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
